アマチュア数学者の日記

とある大学で数学を学んでいます。専門は偏微分方程式です。高校野球、マラソン、カメラ、数学、etc...多趣味です。様々なことを書いていきます。

Laplace方程式⑪鏡像の方法part2

昨日の続きです。

昨日の記事はこちら↓

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次にvx\in Sに対して0になることをみます。

\forall z\in Sとし、2つの単位ベクトル

e=\frac{a}{|a|},w=\frac{z}{R}

を定めます。そうすると、

|z-a|^2 = |Rw- |a|e|^2

=R^2+|a|^2-2R|a|(w,e)

一方、

|z-a^*|^2 = |Rw-\frac{R^2}{|a|}|^2

=R^2+\frac{R^4}{|a|^2}-2\frac{R}{|a|}(w,e)

=\frac{R^2}{|a|^2} (R^2+|a|^2-2R|a|(w,e))

|z-a^*|^2 =\frac{R^2}{|a|^2}|z-a|^2

v(x,a)x\in Sに対して0になります。

いま、vaについて重ね合わせた形の次の関数を考えます。

u(x)=\iiint_Ω G(x,y)f(y) dy

ただし、

G(x,y)=\frac{1}{4π}(\frac{1}{|x-y|}- \frac{R}{|y|} \frac{1}{|x-y^*|})

としました。

このG(x,y)を球Ω=\{x ; |x|≦R\}

に対するディリクレ問題のGreen関数といいます。

※右辺の第2項はy=0で特異性があるようにみえますが、実はそうではありません。

実際、y=ρとおけば

|x-y^*|^2 =|x-\frac{R^2}{ρ^2}y|

=|x|^2+\frac{R^4}{ρ^2}-2\frac{R^2}{ρ^2}(x,y)

でるから、

|y||x-y^*| =\sqrt{|x|^2|y|^2+R^4-2R^2(x,y)}

となり、

G(x,y)=\frac{1}{4π}(\frac{1}{|x-y|}-g(x,y))

とおけば、

g(x,y)=\frac{1}{4π}\frac{R}{|y|} \frac{1}{|x-y^*|}

=\frac{1}{4π}\frac{R}{\sqrt{|x|^2|y|^2+R^4-2R^2(x,y)}}

であって、これは|x|≦R,|y|≦Rにおいて正則であることがわかります。

また、g(x,y)をGreen関数における補正関数といいます。

いまから、fΩC^1級かつ有界な関数とすれば、

u(x)がディリクレ問題の解となることを見ます。

u(x)=\frac{1}{4π}\iiint_Ω \frac{1}{|x-y|}f(y) dy-\iiint_Ωg(x,y)f(y)dy

\Delta (\frac{1}{4π}\iiint_Ω \frac{1}{|x-y|}f(y) dy)=-f

-\Delta \iiint_Ωg(x,y)f(y)dy =-\iiint_Ω \Delta f(y)dy=0

(x\in Ωに対してが特異性を持たず、かつgxにおいて調和なので)

\Delta u=f

今日はここまでにします。

明日にはこの話題を完結させたいと思います。