アマチュア数学者の日記

とある大学で数学を学んでいます。専門は偏微分方程式です。高校野球、マラソン、カメラ、数学、etc...多趣味です。様々なことを書いていきます。

熱方程式⑫定常状態への遷移part2

昨日の続きです。

今日は熱方程式のディリクレ問題の境界条件が0でなく、熱源が密度f(x)で分布している一般の場合についてです。

 

定理

(1) \frac{\partial u}{\partial t}(t,x)=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(t,x)+f(x)

(2)u(t,0)=β_1,u(t,1)=β_2

(3)u(0,x)=a(x) 

の解ut→0のときtによらない関数\overline uに一様収束し、その速さは指数関数的である。

証明

いま、[0,1]で定義された未知関数\overline uに対する境界値問題

\frac{\partial^2 \overline u}{\partial x^2}(t,x)+f(x)=0

\overline u(0)=β_1,\overline u(1)=β_2

を考えます。

t→∞のとき、u(t,x)\overline uに収束することを見ます。

w(t,x)=y(t,x)-\overline u(x)

と置きます

w(t,x)は同次熱方程式の零境界条件のもとでの解になっています。

ただし、初期値a-\overline uはです。

w(t,x)に対して、最大値の原理から導かれる安定性の不等式を適用すると、

|u(t,x)-\overline u(x)|≦M(t_0)||a-\overline u(x)||_{L_2}e^{λ_1t}

が得られます。

\overline uはによらない温度分布になっています。

言い換えれば、定常状態を表していることがわかります。