アマチュア数学者の日記

とある大学で数学を学んでいます。専門は偏微分方程式です。高校野球、マラソン、カメラ、数学、etc...多趣味です。様々なことを書いていきます。

Laplace方程式⑦調和関数の球面平均

今日は調和関数の球面平均の定理をみていきます。

実は正則関数についても同様のことが成り立ちます。

正則関数であることと、実部・虚部が調和関数であることは同値だったので当たり前のような気もしますが、実際に成り立つことを示したいと思います。

 

定理(球面平均の定理)

Kを球\{x; |x-a|≦R\}とします。

また、Kの境界をS=\{x;|x-a|=R\}とします。

もし、関数uが連続でKの内部で調和であるならば、

Kの中心aにおけるのu値は上におけるの平均値に等しくなります。

すなわち、

u(a)=\frac{1}{4πR^2}\iint_{|x-a|=R} u(x) dS

証明

まず、uSを含めてC^2級であるとします。

a=0としても一般性を失いません。

そうすると積分表示

4πu(x)=\iint_S\frac{1}{r_{xy}}\frac{\partial u(y)}{\partial n_y}dS_y-\iint_S\frac{\partial }{\partial n_y} (\frac{1}{r_{xy}}) u(y)dS_y

により、

4πu(0)=\frac{1}{R}\iint_S\frac{\partial u(y)}{\partial n_y}dS_y+ \frac{1}{R^2} \iint_S u(y)dS_y

ところが調和関数に対しては

\iint_S\frac{\partial u(y)}{\partial n_y}dS_y=0

が成り立つので、

u(0)=\frac{1}{4πR^2}\iint_S u(x) dS_y

uSの上までC^2級であると限らないときには、Kの半径をεまで縮めた球についてε→0とすれば同じことになります。