アマチュア数学者の日記

とある大学で数学を学んでいます。専門は偏微分方程式です。高校野球、マラソン、カメラ、数学、etc...多趣味です。様々なことを書いていきます。

線型代数②線型写像と1次独立

線型代数

今日は線型写像と1次独立について。

この二つは、線型代数を学ぶ上でも最も重要な概念かもしれません。

まずは定義から。

定義（線型写像）

$V,W$ を線型空間とします。写像 $f:V→W$ が線型写像であるとは

に対し、 $f$ が

$f(a+b)=f(a)+f(b)$

$f(ka)=kf(a)$

を満たすことをいいます。

ベクトル空間（線型空間）の定義と同様に和とスカラー倍に関して演算が保たれている写像のことを線型写像といいます。

定義（1次独立）

n個のベクトルの組 ${x_1,x_2,...,x_n}$ が1次独立（線型独立）であるとは、

$c_1,c_2,...,c_n≠0$ で、

$c_1x_1+c_2x_2+...+c_nx_n=0$ ・・・（＊）

なる $c_i(i=1,2,...,n)$ の組が存在することです。

※ $c_1,c_2,...,c_n=0$ の場合は、 $0×x_1+0×x_2+...+0×x_n=0$ という明らかな式になります。このような式を自明な関係式と呼びます。それに対して、（＊）の式を'非'自明な関係式と呼びます。1次独立の定義として、「非自明な1次関係式を持たないこと」と表現されることもあります。

落書き（どっかの演習問題から抜粋です）

$f$ は $R^n$ の線型写像であるとします。このとき以下が成り立ちます。

（1） ${a_1,a_2,...,a_n}$ が一次独立で $kerf={o}$ ならば、 ${f(a_1),f(a_2),...,f(a_n)}$ も一次独立である。

（2） ${f(a_1),f(a_2),...,f(a_n)}$ が一次独立ならば、 ${a_1,a_2,...,a_n}$ も一次独立である。

証明

まずは（1）について

$kerf={o}$ より ${f(a_1)≠o,f(a_2)≠o,...,f(a_n)}≠o$ が成り立ちます。また、 $f(o)=o$ も成り立ちます。

次に ${a_1,a_2,...,a_n}$ が一次独立であるということから、

$x_1a_1+x_2a_2+...+x_na_n=o$ を満たす ${x_1,x_2,...,x_n}\in R$ の組は、

$x_1=0,x_2=0,...x_n=0$ のみになることを確認しておきます。

いま、 ${x_1,x_2,...,x_n}\in R$ に対し、

$x_1f(a_1)+x_2f(a_2)+...+x_nf(a_n)=o$ を仮定します。

このとき、線型写像の性質から、 $f(x_1a_1+x_2a_2+...+x_na_n)=o$ となります。

$kerf={o}$ より、 $f$ で写したときに $o$ に写る元は $o$ のみ。

したがって、 $x_1a_1+x_2a_2+...+x_na_n=o$

${a_1,a_2,...,a_n}$ が一次独立より、 $x_1a_1+x_2a_2+...+x_na_n=o$ を満たす $x$ の組は $x_1=0,x_2=0,...x_n=0$ のみなので、

$x_1f(a_1)+x_2f(a_2)+...+x_nf(a_n)=o$ を満たす $x$ の組も $x_1=0,x_2=0,...x_n=0$ のみになります。

以上より、 ${f(a_1),f(a_2),...,f(a_n)}$ も一次独立であることが示されました。

次に（2）について

${f(a_1),f(a_2),...,f(a_n)}$ が一次独立なので、

$x_1f(a_1)+x_2f(a_2)+...+x_nf(a_n)=o$ を満たす $x$ の組は

$x_1=0,x_2=0,...x_n=0$

のみになります。

いま、 $x_1a_1+x_2a_2+...+x_na_n=o$ を仮定しておきます。

線型写像の性質より、

$o$ $=f(o)$

$=f(x_1a_1+x_2a_2+...+x_na_n)$

$=x_1f(a_1)+x_2f(a_2)+...+x_nf(a_n)$

したがって、

$x_1f(a_1)+x_2f(a_2)+...+x_nf(a_n)=o$

これを満たす $x$ の組は $x_1=0,x_2=0,...x_n=0$ のみになります。

以上より、

${a_1,a_2,...,a_n}$ も一次独立であることが証明されました。