アマチュア数学者の日記

とある大学で数学を学んでいます。専門は偏微分方程式です。高校野球、マラソン、カメラ、数学、etc...多趣味です。様々なことを書いていきます。

2次方程式の解の公式

先日Twitter2次方程式の解の公式を「ちゃんと導けるか?」的なことが議論に挙がっていました。

できる人からすれば当たり前のことかもしれませんが、意外にできない高校生を見かけます。高校1年生の2次関数の平方完成を学習した後ならできる証明ですので、スムーズにできるようになると数学力も上がると思います。

ちなみに今年度某県の教員採用試験で、解の公式の導出が出題されました。個人的には教員採用試験で出題するほどの者でもないと思うのですが、、、

 

命題

2次方程式

ax^2+bx+c=0

の解は

x=\frac{-b\pm\sqrt {b^2-4ac}}{2a}

である。

証明

ax^2+bx+c=0

a(x^2+\frac{b}{a}x)+c=0

a\{(x+\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2\}+c=0

a(x+\frac{b}{2a})^2=(\frac{b}{2a})^2-c

a(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a}

(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}

x+\frac{b}{2a}=\frac{\pm\sqrt {b^2-4ac}}{2a}

x=\frac{-b\pm\sqrt {b^2-4ac}}{2a}

 

以上により、2次方程式の解の公式が導かれました。