アマチュア数学者の日記

とある大学で数学を学んでいます。専門は偏微分方程式です。高校野球、マラソン、カメラ、数学、etc...多趣味です。様々なことを書いていきます。

いろいろな"="

私たちは算数を学習し始めた小学校1年生の頃から"="(イコール)を使い始めました。人によってはもっと早かった人もいるかもしれません。数の計算や文字式、方程式など様々なところで登場しました。

今日はそんな「イコール」についてのお話。

数学を学んでいると、あるものとあるものが等しいことを示す必要のある場面が出てきます。例えば、集合Aと集合Bが等しいことを示したり、関数f(x)g(x)が等しいことを示したりします。いくつかの例を見てみましょう。

集合論における"="

集合Aと集合Bが等しいことを示したいとき、通常の意味での数式のイコールを使うことはできません。このような命題を示したいときはどうすれば良いでしょうか?

この場合は

\forall a\in A \forall a \in B

\forall b\in B \forall b\in A

であることを示せば「A=B」が示されたことになります。

集合Aのすべての元aが集合Bに入っていて、逆に集合Bのすべての元bは集合Aに入っているという意味です。

解析学における"="

解析では主に、不等式を用いて両辺が=で結べることを示します。たとえば、関数f(x)g(x)が等しいことを示すときには、

f(x)≦g(x)

であることを示します。またf(x)=c(定数)を示したいときには、

f(x)≧cかつf(x)≦c

を示す必要があります。また、解析では=を直接示すことは少ないような気がします。解析を専攻していると、=の文字を見た瞬間に不等式をどのように示そうかと考えるようになります。

おまけ(⇔)

=とは少し異なりますが、⇔についても説明しておきます。条件Pと条件Q必要十分条件であるとき、

PQ

と書きます。

PQの定義は、

「(PならばQ)かつ(QならばP)」

が成り立つことです。この⇔記号は条件における=と思ってよいでしょう。

 余談ですが、受験の数学でこの記号を使いたがる受験生は多いのですが、安易にこの記号を使うことはおすすめしません。この記号を使うとき、数学を専門にしている人はものすごく神経を使います。必要十分性の確認は非常に労力を要するからです。数学の知識に乏しい高校生が必要十分性を確認せずにこの記号を使うと、「けしからん」となることもあります。しっかり確認してから使うか、使わないようにしましょう。