アマチュア数学者の日記

とある大学で数学を学んでいます。専門は偏微分方程式です。高校野球、マラソン、カメラ、数学、etc...多趣味です。様々なことを書いていきます。

偏微分方程式について

こんばんは

今回は二回目の投稿となります。

今日は偏微分方程式についてです。僕はプロフィールにあるように数学を専攻しています。特に偏微分方程式を専門にしています。偏微分方程式とは変数が二つ以上ある関数の偏微分を含む方程式のことです。偏微分方程式は物理で主に表れ、電磁気学や熱力学、量子力学等で頻繁に表れます。偏微分方程式にもいろいろありまして私は「熱方程式」というものに興味を持っています。熱方程式は大雑把に以下のような形になります。

 \frac{\partial u}{\partial t}(t,x)=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(t,x)・・・(*)

少し詳しく説明すると、時間の一階微分と空間変数の二階微分が=で結べるような関数の性質を調べています。uは時間と空間変数による関数なのでu=u(x)と考えることができます。

時間のみに依存する関数T=T(t)と空間変数のみに依存する関数X=X(x)があって、u(t,x)=T(t)X(x)というように変数を分離できるものと考えると(時刻と空間変数が互いに依存しあっていないということです)(*)により

T(t)'X(x)=T(t)X(x)''

となります。さて、両辺をT(t)X(x)で割ってみましょう

\frac{T'}{ T}=\frac{X''} { X}

となります。左辺はtのみに依存する関数、右辺はxのみ依存する関数であることがわかります。すなわち両辺が等号で結べるのは両辺が定数となるときであることがわかります。この定数を-k^2とおくことにしましょう。(この定数の置き方はどのようにおいてもうまくいきます。このようにおくと非常に式がきれいになるのでこのブログではこのようにおくことにします。)

\frac{T'}{ T}=\frac{X''} { X}=-k^2

すなわち、

T'=-k^2T

X"=-k^2X

となります。理系の方ならこの微分方程式の特殊解を求めることができるかと思います。これを解くと、

T(t)=e^{-k^2t}

X(x)=Asin(kx)+Bcos(kx)

となります。A,Bは定数です。u(t,x)=T(t)X(x)でしたのでまとめると

u(t,x)=e^{-k^2t}\{Asin(kx)+Bcos(kx)\}

これが熱方程式の特殊解となります。このkを任意の実数として適当に重ね合わせることにより一般解を得ることができます。これを一般化したものがフーリエ変換と呼ばれるものです。t→∞としてみるとu(t,x)→0となることがわかります。最初に熱源を与えると、十分長い時間が経つと、定常状態になりますよね、非常に物理現象にマッチしていることがよくわかります。一見すると簡単そうに見える方程式でしたが、解はものすごく複雑な形をしています。一般解はもう何が何だかわからないことになっています。この複雑さに惹かれました。この関数の積分を求める問題は大学入試でもよく見かけます。受験生の頃はなぜこのような積分をするのか思ってましたが、今となっては非常に恐れ多い関数となっております笑