アマチュア数学者の日記

とある大学で数学を学んでいます。専門は偏微分方程式です。高校野球、マラソン、カメラ、数学、etc...多趣味です。様々なことを書いていきます。

Laplace方程式

Laplace方程式⑮球におけるディリクレ問題part2

前回の続きです。 前回の記事はこちら↓ 今日は、 を示します。 を具体的に計算するために、 (のなす角) と置きます。 がであることに注意すると、 ∴ 一方、Green関数の補正関数をで表せば、 ∴ これらの結果を用いて、 右辺はに対して定義された関数ですが、…

Laplace方程式⑭球におけるディリクレ問題

今日は球におけるディリクレ問題のうち境界でをとるとは限らない一般の場合についての解の表示を考えます。 まずは設定から。 とします。 この球におけるディリクレ問題を次のように定義します。 は連続関数です。このような問題が与えられたときの解の表示…

Laplace方程式⑬Green関数の性質

前回まで鏡像の方法を用いて、Green関数を導きました。 今日はGreen関数の性質を見ていきましょう。 まずは定義から。 定義(一般の領域に対するGreen関数) におけるディリクレ問題 に対し、 で定義されたがGreen関数であるとは、 以下の(1)~(3)を満たすこと…

Laplace方程式⑫鏡像の方法part3

前回までの続きになります。 前回までの記事はこちら↓ www.ruhamata.work www.ruhamata.work がで連続であり、において境界値がのなることを確かめます。 まず、 を示します。 より、 を固定し、十分小さなに対して、 を定義すれば、外側の境界では また、で…

Laplace方程式⑪鏡像の方法part2

昨日の続きです。 昨日の記事はこちら↓ www.ruhamata.work 次にがに対してになることをみます。 とし、2つの単位ベクトル を定めます。そうすると、 一方、 ∴ ∴はに対してになります。 いま、をについて重ね合わせた形の次の関数を考えます。 ただし、 とし…

Laplace方程式⑩鏡像の方法

今日は鏡像の方法を紹介します。 物理(特に電磁気学)なんかではよくつかわれる方法のようです。 数学的にはこの方法を用いてLaplace方程式に対してのGreen関数を導くことができます。 まず、物理的な背景から導入します。 いま、真空の半空間 の1点に、点…

Laplace方程式⑨球面平均の定理の逆

今日は球面平均の定理の逆を示したいと思います。 この定理を示すことにより、調和関数であることと、球面平均の公式を満たすことが同値であることがわかります。 定理 をの任意の領域とします。 はで連続で内に含まれる任意の球 に対して、 が成り立つとし…

Laplace方程式⑧強い意味での最大値の原理

以前、熱方程式と同様に調和関数に対して最大値の原理が成り立つことを確認しました。 その時の定理は以下のようになりました。 定理(調和関数の最大値・最小値の原理) はの有界領域で、 はその境界である とする。 が で を満たすならば、 ここで注意しなけ…

Laplace方程式⑦調和関数の球面平均

今日は調和関数の球面平均の定理をみていきます。 実は正則関数についても同様のことが成り立ちます。 正則関数であることと、実部・虚部が調和関数であることは同値だったので当たり前のような気もしますが、実際に成り立つことを示したいと思います。 定理…

Laplace方程式⑥調和関数に対するリウビルの定理

今日は調和関数における有界な関数についてみていきます。 その中でもタイトルにあるリウビルの定理について。 リウビルの定理といえば複素解析などの授業で証明した方も多いと思います。 複素解析で登場したリウビルの定理のステートメントを書いておきます…

Laplace方程式⑤Newtonポテンシャルとポアソン方程式

今日は、Newtonポテンシャルについて。 定義 を有界領域、をの有界な連続関数とします。 によって定義されるのことを密度を持つNewtonポテンシャルと呼びます。 Newtonポテンシャルの最も重要な性質として、ポアソン方程式 を満足することが挙げられます。 …

Laplace方程式④Laplace方程式の基本解

定義 一般に、を変数とする偏微分作用素に対し、 を満足するの関数をを特異点とするの基本解といいます。 がLaplace方程式の解になることは以前確認しました。 の最も重要な性質は、 と表すことができることです。 今日はこれを導きたいと思います。 に対し…

Laplace方程式③解の一意性

今日はLaplace方程式の解の一意性についてです。 前回は、最大値・最小値の原理を示しましたが、これを用いて簡単に示すことができます。 定理(ディリクレ問題の解の一意性) Laplace方程式の内部ディリクレ問題 () ( ) の解は一意である。 証明 を上の条件を…

Laplace方程式②最大値・最小値の原理

今日はLaplace方程式の最大値の原理についてです。 熱方程式の時と同じように、Laplace方程式においてもこの最大値・最小値の原理を基に、解の一意性や正値保存性などが導かれます。 それでは見ていきましょう。 定理(調和関数の最大値・最小値の原理) はの…

Laplace方程式①Laplace方程式とは

今日から熱方程式と並行してLaplace方程式についても書いていきたいと思います。 だんだん僕の備忘録と化している感じがしますが、お付き合いください。。。 このブログで何回も登場していますが、熱方程式とは = を満たす方程式のことでした。このブログで…