アマチュア数学者の日記

とある大学で数学を学んでいます。専門は偏微分方程式です。高校野球、マラソン、カメラ、数学、etc...多趣味です。様々なことを書いていきます。

僕の受験生時代を振り返るpart1~現役生時代

こんにちは 12月も中旬に入り本格的に金欠なシーズンが到来しました。 今年は忘年会の参加を抑えているつもりではあるのですが、この時期はどうしても出費が重なります。 街に行けばお金を使う誘惑が多すぎるのでおとなしく家でブログでも書きます。 12…

Surface pro7をusb type-Cで充電してみる

充電器を構成するまでの流れ こんにちは 久しぶりの投稿になります。 先日、surface pro7を購入したのですが、充電器が重い。 ちなみにsurfaceの購入までの流れはこちら↓ www.ruhamata.work 高速充電に対応しているとのことで、大きくなったようです。 家で…

Laplace方程式⑭球におけるディリクレ問題part3

前回からの続きです。 前回、前々回の記事はこちら↓ 前回の最後に であることを示しました。 今日はこれを用いて、 がに関して一様に成り立つことを導きます。 まず、を固定します。 とできるので、 さらに小さなを選んで、 を次のように分割します。 これに…

Laplace方程式⑮球におけるディリクレ問題part2

前回の続きです。 前回の記事はこちら↓ 今日は、 を示します。 を具体的に計算するために、 (のなす角) と置きます。 がであることに注意すると、 ∴ 一方、Green関数の補正関数をで表せば、 ∴ これらの結果を用いて、 右辺はに対して定義された関数ですが、…

御船山楽園紅葉祭り

先日、御船山楽園の紅葉祭りに行ってきました。 御船山楽園といえばチームラボがやっているプロジェクションマッピングが有名ですが、今回は紅葉です。 www.mifuneyamarakuen.jp ここ数日の雨で紅葉が残っているか心配でしたが、割といい感じに残っていまし…

はてなブログ100投稿目

はてなブログを始めて100回目の投稿になります。 5月の最後の週に思いたったように始めたので、ちょうど半年で100記事書いたことになります。多いのか少ないのかは何とも言えないところですが、、、 最初のころはほとんど毎日書いていたのですが、今では週に…

Laplace方程式⑭球におけるディリクレ問題

今日は球におけるディリクレ問題のうち境界でをとるとは限らない一般の場合についての解の表示を考えます。 まずは設定から。 とします。 この球におけるディリクレ問題を次のように定義します。 は連続関数です。このような問題が与えられたときの解の表示…

Laplace方程式⑬Green関数の性質

前回まで鏡像の方法を用いて、Green関数を導きました。 今日はGreen関数の性質を見ていきましょう。 まずは定義から。 定義(一般の領域に対するGreen関数) におけるディリクレ問題 に対し、 で定義されたがGreen関数であるとは、 以下の(1)~(3)を満たすこと…

Laplace方程式⑫鏡像の方法part3

前回までの続きになります。 前回までの記事はこちら↓ www.ruhamata.work www.ruhamata.work がで連続であり、において境界値がのなることを確かめます。 まず、 を示します。 より、 を固定し、十分小さなに対して、 を定義すれば、外側の境界では また、で…

熊本県庁プロムナードの銀杏並木

昨日は学校が休みだったので、熊本県庁に行ってきました。 地元では割と有名なのですが、この時期県庁は銀杏の木が満開でそれはそれはきれいなのです。 正門側からとったやつ 駐輪場側から お決まりの このルフィを撮るためだけに行列ができていました。 暇…

Laplace方程式⑪鏡像の方法part2

昨日の続きです。 昨日の記事はこちら↓ www.ruhamata.work 次にがに対してになることをみます。 とし、2つの単位ベクトル を定めます。そうすると、 一方、 ∴ ∴はに対してになります。 いま、をについて重ね合わせた形の次の関数を考えます。 ただし、 とし…

Laplace方程式⑩鏡像の方法

今日は鏡像の方法を紹介します。 物理(特に電磁気学)なんかではよくつかわれる方法のようです。 数学的にはこの方法を用いてLaplace方程式に対してのGreen関数を導くことができます。 まず、物理的な背景から導入します。 いま、真空の半空間 の1点に、点…

Surface pro7を買いました

福岡に行った 先日福岡に1人旅をしました。 なんか急に1人でどっかに行きたくなったからです。 太宰府天満宮に行って1人で写真を撮りまくってました。 1人旅っていいですよね。宿は博多にとってたので太宰府の後は博多に移動しました。 そんな話はさておき、…

なぜ数学を学ぶのか

こんにちは 今日の内容は完全に僕の愚痴になります。 生産性のない授業システム 今日は学校で教職の授業がありました。 授業はどっかの学校の元校長先生や教員経験者が来て我々学生の発表を聞くという形式で行われました。 まぁなんというかとっても眠かった…

熱方程式⑯Cauchy問題の解の存在

前回、前々回はCauchy問題の解を構成するためにGreen関数というものを構成しました。 そのGreen関数 を用いてCauchy問題の解は と書けました。 今日は逆にこの解がCauchy問題 (1), (2) を満足することを確認します。 定理(Cauchy問題の解の存在) を有界な連…

熱方程式⑮Cauchy問題part3 Green関数の性質

前回、熱方程式のCauchy問題 (1), (2) の解を構成しました。 その結果、解は を用いて と表現することができることがわかりました。 今日はこのの性質を見ていきましょう。 の性質 (1)に対し、 (2) とくに、 (3) とくに、 (4)では、はの級関数で、 熱方程式…

熱方程式⑭熱方程式のCauchy問題part2 Green関数

以前熱方程式のCauchy問題の定義と、最大値の定理を示しました。 この最大値の原理から、一意性や安定性が導かれます。 今日はその解を具体的な形で表現してみたいと思います。 まず、熱方程式のCauchy問題とは以下のような問題のことでした。 (1), (2) その…

熱方程式⑬定常状態への遷移part3

これまで2回にわたって熱方程式が十分時間が経つと定常状態へ遷移することがわかりました。 今日は最後に領域の内部に熱源があり、さらに境界で熱が出入りしている場合についてみていきます。 そのような場合をまとめると以下のようになります。 (1) (2) (3)…

首里城が燃えた

10月31日朝 起きたら、家族ラインがどうやら騒がしい。 見てみると火事が起きているようだ。 よくよく見ると首里城が燃えていた。 マジか、と思った。嘘だろと思った。 テレビをつけたら事態はさらに進んでいて、もうほとんどなくなっていた。 www3.nhk.or.j…

熱方程式⑫定常状態への遷移part2

昨日の続きです。 今日は熱方程式のディリクレ問題の境界条件が0でなく、熱源が密度で分布している一般の場合についてです。 定理 (1) (2) (3) の解はのときによらない関数に一様収束し、その速さは指数関数的である。 証明 いま、]で定義された未知関数に対…

熱方程式⑪定常状態への遷移

今日は熱の拡散現象が十分長い時間経過した後の状態を考えます。 結論から言ってしまうと、最初は熱方程式を満たしていた系が、十分長い時間がたつと、Laplace方程式を満たすようになります。 すなわち、Laplace方程式は熱方程式の十分長い時間がたったバー…

Laplace方程式⑨球面平均の定理の逆

今日は球面平均の定理の逆を示したいと思います。 この定理を示すことにより、調和関数であることと、球面平均の公式を満たすことが同値であることがわかります。 定理 をの任意の領域とします。 はで連続で内に含まれる任意の球 に対して、 が成り立つとし…

Laplace方程式⑧強い意味での最大値の原理

以前、熱方程式と同様に調和関数に対して最大値の原理が成り立つことを確認しました。 その時の定理は以下のようになりました。 定理(調和関数の最大値・最小値の原理) はの有界領域で、 はその境界である とする。 が で を満たすならば、 ここで注意しなけ…

Laplace方程式⑦調和関数の球面平均

今日は調和関数の球面平均の定理をみていきます。 実は正則関数についても同様のことが成り立ちます。 正則関数であることと、実部・虚部が調和関数であることは同値だったので当たり前のような気もしますが、実際に成り立つことを示したいと思います。 定理…

熱方程式⑩熱方程式のCauchy問題

久しぶりに熱方程式について書きたいと思います。 前回まで、熱方程式の考察の対象として、以下のようなディリクレ問題 (1)= (2)= (3)= やノイマン問題 (1)= (2)== (3)= を対象にしていました。 今回は熱方程式の定義域を無限に広げたバージョンについてみて…

熊本城に登った

熊本地震で大きな被害を被った熊本城ですが復旧工事もだいぶ進み、今月から日曜・祝日のみ一般開放されています。 今日はカメラを持って熊本城を散策してきました。(もちろん一人) 美術館側から見た熊本城。人通りも少なく個人的におすすめのスポットです…

Laplace方程式⑥調和関数に対するリウビルの定理

今日は調和関数における有界な関数についてみていきます。 その中でもタイトルにあるリウビルの定理について。 リウビルの定理といえば複素解析などの授業で証明した方も多いと思います。 複素解析で登場したリウビルの定理のステートメントを書いておきます…

Laplace方程式⑤Newtonポテンシャルとポアソン方程式

今日は、Newtonポテンシャルについて。 定義 を有界領域、をの有界な連続関数とします。 によって定義されるのことを密度を持つNewtonポテンシャルと呼びます。 Newtonポテンシャルの最も重要な性質として、ポアソン方程式 を満足することが挙げられます。 …

Laplace方程式④Laplace方程式の基本解

定義 一般に、を変数とする偏微分作用素に対し、 を満足するの関数をを特異点とするの基本解といいます。 がLaplace方程式の解になることは以前確認しました。 の最も重要な性質は、 と表すことができることです。 今日はこれを導きたいと思います。 に対し…

線型代数③内積の定義

内積とは 今日は内積についてです。 内積は高校数学から登場する概念ですが、いろいろ奥が深い概念です。 ちなみに、 に対して、 のように定義する内積を「標準内積」といいます。 「標準」とつくように、高校数学でも内積の計算の仕方はこのような方法で学…