アマチュア数学者の日記

とある大学で数学を学んでいます。専門は偏微分方程式です。高校野球、マラソン、カメラ、数学、etc...多趣味です。様々なことを書いていきます。

Laplace方程式⑦調和関数の球面平均

今日は調和関数の球面平均の定理をみていきます。 実は正則関数についても同様のことが成り立ちます。 正則関数であることと、実部・虚部が調和関数であることは同値だったので当たり前のような気もしますが、実際に成り立つことを示したいと思います。 定理…

熱方程式⑧熱方程式のCauchy問題

久しぶりに熱方程式について書きたいと思います。 前回まで、熱方程式の考察の対象として、以下のようなディリクレ問題 (1)= (2)= (3)= やノイマン問題 (1)= (2)== (3)= を対象にしていました。 今回は熱方程式の定義域を無限に広げたバージョンについてみて…

熊本城に登った

熊本地震で大きな被害を被った熊本城ですが復旧工事もだいぶ進み、今月から日曜・祝日のみ一般開放されています。 今日はカメラを持って熊本城を散策してきました。(もちろん一人) 美術館側から見た熊本城。人通りも少なく個人的におすすめのスポットです…

Laplace方程式⑥調和関数に対するリウビルの定理

今日は調和関数における有界な関数についてみていきます。 その中でもタイトルにあるリウビルの定理について。 リウビルの定理といえば複素解析などの授業で証明した方も多いと思います。 複素解析で登場したリウビルの定理のステートメントを書いておきます…

Laplace方程式⑤Newtonポテンシャルとポアソン方程式

今日は、Newtonポテンシャルについて。 定義 を有界領域、をの有界な連続関数とします。 によって定義されるのことを密度を持つNewtonポテンシャルと呼びます。 Newtonポテンシャルの最も重要な性質として、ポアソン方程式 を満足することが挙げられます。 …

Laplace方程式④Laplace方程式の基本解

定義 一般に、を変数とする偏微分作用素に対し、 を満足するの関数をを特異点とするの基本解といいます。 がLaplace方程式の解になることは以前確認しました。 の最も重要な性質は、 と表すことができることです。 今日はこれを導きたいと思います。 に対し…

線型代数③内積の定義

内積とは 今日は内積についてです。 内積は高校数学から登場する概念ですが、いろいろ奥が深い概念です。 ちなみに、 に対して、 のように定義する内積を「標準内積」といいます。 「標準」とつくように、高校数学でも内積の計算の仕方はこのような方法で学…

デスクトップを買っちゃいました

買っちゃった。 買っちゃいました。 はい、確かに僕が買いました。 約1月分のバイト代で買いましたよ。 10月から消費増税ということを言い訳に、デスクトップを買っちゃいました。 今まではTOSHIBAのdynabookの13インチを使っていたのですが、 ・ブログや…

線型代数②線型写像と1次独立

今日は線型写像と1次独立について。 この二つは、線型代数を学ぶ上でも最も重要な概念かもしれません。 まずは定義から。 定義(線型写像) を線型空間とします。写像が線型写像であるとは に対し、が を満たすことをいいます。 ベクトル空間(線型空間)の…

学校のくだらないルールの思うこと

昨日ヤフーニュースをネットサーフィンしていたらこんなニュースを発見しました。 headlines.yahoo.co.jp 筆算の直線を定規で書かなければ夏休みの宿題を認めないというものでした。この児童は手書きで書いた分すべてを定規で引き直したようです。 このブロ…

線型代数①ベクトル空間

こんにちは 今日から線型代数の理論について書いてみます。 線型代数の問題の解答とか学部1年で学ぶ内容の記事は多くのブログで書かれているので、ここでは線型代数の「理論」に絞って書いてみます。理系学部の方なら線型代数は避けては通れない科目ですが、…

熱方程式⑦Green関数(続き)

こんにちは 久しぶりの投稿になります。教育実習も終わり一息ついたところなので、今日からまたブログの方を再開したいと思います。 今日は熱方程式⑥で扱ったGreen関数の性質の証明の続きをやりたいと思います。 前回の記事はこちら www.ruhamata.work Green…

9月の資産状況

こんばんは 現在教育実習中でなかなか更新できていません。 タイトルにあるように9月の資産状況です。 つい先日まで含み損2000円くらいあったのですが、木曜日と金曜日に起こったバブル?的な現象によって一気に回復しました。 週明けもキープしてくれたらな…

2次方程式の解の公式

先日Twitterで2次方程式の解の公式を「ちゃんと導けるか?」的なことが議論に挙がっていました。 できる人からすれば当たり前のことかもしれませんが、意外にできない高校生を見かけます。高校1年生の2次関数の平方完成を学習した後ならできる証明ですので、…

Laplace方程式③解の一意性

今日はLaplace方程式の解の一意性についてです。 前回は、最大値・最小値の原理を示しましたが、これを用いて簡単に示すことができます。 定理(ディリクレ問題の解の一意性) Laplace方程式の内部ディリクレ問題 () ( ) の解は一意である。 証明 を上の条件を…

Laplace方程式②最大値・最小値の原理

今日はLaplace方程式の最大値の原理についてです。 熱方程式の時と同じように、Laplace方程式においてもこの最大値・最小値の原理を基に、解の一意性や正値保存性などが導かれます。 それでは見ていきましょう。 定理(調和関数の最大値・最小値の原理) はの…

ディラックのデルタ超関数

こんにちは 今日は偏微分方程式を考えるうえで何度も登場するデルタ関数について紹介します。 デルタ関数とは デルタ関数は超関数と呼ばれるものの一種です。物理では、本来はものすごく狭い(例えば電子のようなものです。ですが、いくら小さくても点ではな…

(お知らせ)数学に関連するすべての記事のリライトを行いました

おはようございます。 先日はてなブログで数式をTexを用いて出力する方法を身に着けました。 www.ruhamata.work これまでに書いた、数学の記事で登場した数式を書き換えました。 良かったらご覧ください。 また、間違っている点を発見された方はコメント欄で…

熱方程式⑥Green関数

以前熱方程式を考察する過程でフーリエ級数という考え方が生まれたことを紹介しました。 その記事はこちらです。 www.ruhamata.work フーリエ級数とは簡単に言うと熱方程式の特殊解を無限に重ね合わせることで得られる一般解のことでした。 例えば、以下の熱…

ついにはてなブログで数式入力をすることができるようになった

こんにちは 先日の投稿で数式を入力する際libre office数式を用いるという話をしました。 www.ruhamata.work しかし、画面をスクリーンショットしてそれを張り付けるという作業は非常に面倒で、しかもファイルが重くなってしまうという欠点がありました。 そ…

libre office数式が意外に使える

こんにちは 以前からこのブログでは、数式の入力に関しては、非常に手抜きで行っておりました。 例えば、sinxの積分に関しては、こんな感じ。 ∫[0.2π] sinx dx ちゃんと書くのがめんどくさかったということもありますが、恥ずかしながら入力の仕方がわからな…

8月の資産状況

実は先月ごろからつみたてnisaを始めておりまして、先月の終わりには僅かばかりの利益が出ていました。このブログでも何回か書いたと思います。 しかし、、、 先日の日経平均株価、ニューヨークダウの暴落のタイミングで僕の資産も暴落いたしました。 投資し…

沖縄の学力問題

こんにちは 最近忙しくてなかなか更新できていません。 最近、沖縄の学力問題について僕自身思うことが多々あるのでそのことについて。 ご存じの方も多いかと思いますが、沖縄県は全国学力テストでの順位がほぼ毎回最下位です。今に始まったことではなく、統…

いろいろな"="

私たちは算数を学習し始めた小学校1年生の頃から"="(イコール)を使い始めました。人によってはもっと早かった人もいるかもしれません。数の計算や文字式、方程式など様々なところで登場しました。 今日はそんな「イコール」についてのお話。 数学を学んで…

沖縄の長男

この手の記事は結構いろいろなところで書かれているのですが、僕も書いてみたいと思います。このブログらしさを出すために、数学の教科書っぽく定義→定理という流れで書いてみます。 沖縄県は令和になったこの時代にも「家制度」的なものが残っています。厳…

間違った方向に一生懸命頑張ると誰かの迷惑になることがあるという話

何回か書いていますが、僕は塾でアルバイトをしています。 この時期は夏期講習で生徒(特に受験生)は、必死に頑張っています。もちろん我々講師も必死に成績を上げよう&合格させようということで頑張っています。 そんな夏期講習での1コマが今日のお話です…

熱方程式⑤ノイマン問題の解の一意性

以前から熱方程式の記事について書いています。 以前までは以下の熱方程式を考察の対象にしていました。 (1)= (2)= (3)= 上の(1)~(3)を満たす熱方程式の初期値・境界値問題を熱方程式のディリクレ問題といいます。 今日は、 (1)= (2)== (3)= 上の(1)~(3)を…

数学の3分野

数学には大きく分けて3つの分野があります。 数学が発達するにつれて、このような分け方には意味がなくなってきていますし、分野にとらわれない理解が大切であることは自覚しています。また、これらのどの分野にも分類することができない分野も多くあります…

玉名花火大会

夏といえば花火。 先日玉名花火大会に行ってきました。 僕自身花火大会に行くのは初めてでずっと前から楽しみにしていました。 三脚を立ててばっちり撮ってやろうと思ってたのですが、いわゆる『ガチ勢』の方々が早くから場所を取っていたことと、人が多かっ…

高校数学「集合と命題」

先日友人と教育実習の感想を話す機会がありました。 そこで、ふと教育実習で行った授業のある一コマを思い出しました。その時の様子を書き出してみます。 僕「今日は命題の否定について学習します。」 「『~である』の否定は『~でない』となります。日常生…